المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد هي عبارة عن عبارات رياضية تحتوي على متغير واحد (مجهول) وتكون على شكل خطي، أي أن أعلى أس للمتغير هو 1. تُستخدم المتراجحات لتحديد مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير لتلبية الشرط المعطى. على عكس المعادلات التي تبحث عن قيمة محددة، المتراجحات تبحث عن مجال من الحلول.

المتراجحة تأتي عادةً بإحدى الصور التالية:
- ax + b > c
- ax + b < c
- ax + b ≥ c
- ax + b ≤ c
حيث a و b و c أعداد حقيقية، و a ≠ 0.

خطوات حل المتراجحات

1. تبسيط المتراجحة: اجمع أو اطرح الحدود لنقل جميع المتغيرات إلى جهة والثوابت إلى الجهة الأخرى.
2. القسمة أو الضرب: اقسم أو اضرب الطرفين لعزل المتغير، مع ملاحظة أنه إذا قسمنا أو ضربنا ب عدد سالب، يجب عكس إشارة المتراجحة.
3. كتابة الحل: عادةً يُكتب الحل على شكل مجال (فاصلة) أو بيانيًا على خط الأعداد.

أمثلة محلولة

مثال 1:
حل المتراجحة: 2x + 3 > 7
- اطرح 3 من الطرفين:
2x + 3 - 3 > 7 - 3
2x > 4
- اقسم الطرفين على 2:
2x/2 > 4/2
x > 2
الحل: x > 2، أي المجال (2, +∞).

مثال 2:
حل المتراجحة: -3x + 5 ≤ 2
- اطرح 5 من الطرفين:
-3x + 5 - 5 ≤ 2 - 5
-3x ≤ -3
- اقسم الطرفين على -3 (مع عكس الإشارة لأن العدد سالب):
-3x/-3 ≥ -3/-3
x ≥ 1
الحل: x ≥ 1، أي المجال [1, +∞).

فيديو توضيحي

للمزيد من الشرح المرئي، يمكنك مشاهدة هذا الفيديو:

مثال إضافي معقد قليلاً

مثال 3:
حل المتراجحة: 4 - 2x < 6 + x
- انقل الحدود لتجميع المتغيرات على جهة والثوابت على الجهة الأخرى:
4 - 6 < 2x + x
-2 < 3x
- اقسم الطرفين على 3:
-2/3 < 3x/3
-2/3 < x
الحل: x > -2/3، أي المجال (-2/3, +∞).

اختبار حول الدرس

1. حل المتراجحة: 5x - 2 > 8
2. حل المتراجحة: -4x + 1 ≤ -7
3. حل المتراجحة: 3 - x < 2x + 6
4. ما هو المجال الحل لـ 2x + 1 ≥ 5؟